1)
Нам известно, что медиана, опущенная к основанию равнобедренного треугольника, делит основание по полам и образует с ним угол в 90°. Значит медиана делит данный треугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, у которых гипотенузы - боковые стороны, а катеты - медиана и половина основания.
Значит по теореме Пифагора мы можем найти половину основания:
13² - 5² = 169 - 25 = 144 = 12².
Половина основания равна 12, тогда:
12 * 2 = 24 см - основание треугольника:
Р = 13 + 13 + 24 = 50 см;
S =1/2 ВН * АС = 1/2 * 24 * 13 = 156 см².
2)
Так как АК биссектриса угла А, то угол ВАК = ДАК.
Стороны ВС и АД параллельны, тогда углы КАД и ВКА равны как лежащие накрест.
Тогда угол ВАК = ВКА = ДАК, а треугольник АВК равнобокий, АВ = ВК = 4 см.
Длина стороны ВС = (ВК + СК) = 4 + 3 = 7 см.
Тогда Равсд = 2 * (АВ + ВС) = 2 * (4 + 7) = 22 см.
Ответ: Периметр параллелограмма равен 22 см.
3)
Треугольник АСД прямоугольный , угол САД = 30° , значит угол СДА= 90 - 30 = 60°.
Так как трапеция равнобедренная ,то угол ВАД= 60° , а сторона АВ = СД = 12 : 2 = 6 см ( треугольник АСД прямоугольный с углом 30°, катет лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. То есть 12 : 2 =6 см )
Треугольник АВС равнобедренный , так как угол ВСА = углу САД = 30° накрест лежащие при параллельных ВС и АД , угол ВАС = 30°. Так как треугольник АВС равнобедренный , то АВ = ВС = 6см. Площадь равна (6 + 12) : 2 * 3√3 = 27√ 3 см².
Высота этой трапеции 3√3, находится из треугольника АВН по теореме Пифагора 6² - 3² = 27.
Ответ 27√ 3 см².
4)
Так как в окружности проведены 2 хорды и они пересекаются в точке М, то АМ * МВ = СМ * МD.
Далее просто подставляем числа и получаем,что:
12 * 10 = СМ * МD = 120,
Так как DC = 23 = CM + MD.
Пусть СМ = х см, тогда MD = 120/х,
х + 120/Х = 23,
(х² + 120)/х = 23,
23 * х = х² + 120.
Решаем квадратичное уравнение через дискриминант:
Получаем что х1= 8, а х2 = 15,
если СМ = 8, тогда MD = 23 - 8 = 15.
Ответ: 8 и 15 .