у = 1/3 х^3 + ½ х^2 – 6х.
Уравнение касательной к графику функции в точке х0 имеет вид:
у = у’ (x0) (x – x0) + y (x0).
Таким образом, угловой коэффициент касательной равен k = у’ (x0).
Найдем производную функции у = 1/3 х^3 + ½ х^2 – 6х:
у’ = (1/3 х^3 + ½ х^2 – 6х)’ = 1/3 * 3х^2 + ½ * 2х – 6 = х^2 + х - 6.
Производная функции в точке х0:
у’ (х0) = х0^2 + х0 - 6.
Т.к. график касательной должен быть параллелен прямой у = 6х – 1, то угловые коэффициенты прямых должны быть равны, тогда:
х0^2+ х0 – 6 = 6.
Решим уравнение:
х0^2+ х0 – 6 – 6 = 0,
х0^2 + х0 – 12 = 0,
(х0 + 4) (х0 – 3) = 0,
х0 = -4,
х0 = 3.
Ответ: при х = -4 и х = 3 касательная к графику функции у = 1/3 х^3 + ½ х^2 – 6х параллельна прямой y = 6x – 1.
y = 1 + e^(x - 1).
Угловой коэффициент касательной равен k = у’ (x0).
Найдем производную функции у = 1 + e^(x - 1):
у’ = (1 + e^(x - 1))’ = e^(x - 1).
Т.к. график касательной составляет угол 450 с осью ОХ, то k = tg 450 = 1. Получим:
e^(x - 1) = 1,
х – 1 = 0,
х = 1.
Ответ: в точке х = 1 касательная проведенная к графику функции y = 1 + e^(x - 1), составляет угол 450 с осью OX.
