1.Решите биквадратное уравнение: а) x^4-11x^2+18=0 ; б) x^4+7x^2-18=0 ; в) x^4+11x^2+18=02. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 25, а один из катетов на 17 больше другого. 3. Сколько сторон у многоугольника, если в нем можно провести 65 диагоналей? 4. Положив в банк 5000 р., вкладчик через два года получил 5408 р. Какой процент начислял банк ежегодно? 5. В координатной плоскости хОу построена трапеция ABCD. Вершины А и D лежат на оси абсцисс, а вершины В и С — на графике функции y =√x (точка А — проекция точки В, D — точки С на ось абсцисс). Найдите расстояние между точками А и D, если АВ = 2, а большая диагональ равна 4.

1.

а) Х⁴ – 11 * Х² + 18 = 0.

Пусть У = Х², У ≥ 0, тогда:

У² – 11 * У + 18 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-11)² – 4 * 1 * 18 = 121 - 72 = 49.

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

У₁ = (11 - √49) / (2 * 1) = (11 – 7) / 2 = 4 / 2 = 2.

У₂ = (11 + √49) / (2 * 1) = (11 + 7) / 2 = 18 / 2 = 9.

Х₁ = √2.

Х₂ = √9 = 3.

 б) Х⁴ + 7 * Х² – 18 = 0.

Пусть У = Х², У ≥ 0, тогда:

У² + 7 * У – 18 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = 7² – 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121.

У₁ = (-7 - √121) / (2 * 1) = (-7 – 11) / 2 = -18 / 2 = -9. Не подходит, т. к. У > 0

У₂ = (-7 + √121) / (2 * 1) = (-7 + 11) / 2 = 4 / 2 = 2.

Х = √2.

 в) Х⁴ + 11 * Х * 2 + 18 = 0.

Пусть У = Х², У ≥ 0, тогда:

У² + 11 * У + 18 = 0.

Решим квадратное уравнение.

У1 = -9.

У2 = -2.

Не подходят, так как У ≥ 0, тогда уравнение не имеет решения.

2.

Пусть длина меньшего катета равна Х см, тогда, по условию, длина большего катета равна (17 + Х) см.

Используем теорему Пифагора.

Х² + (17 + Х)² = 252.

2 * Х² + 289 + 34 * Х = 625.

2 * Х² + 34 * Х – 336 = 0.

Х² + 17 * Х – 168 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = 17² – 4 * 1 * (-168) = 289 + 672 = 961.

Х₁ = (-19 - √961) / (2 * 1) = (-17 – 31) / 2 = -48 / 2 = -24. (Не подходит).

Х₂ = (-19 + √961) / (2 * 1) = (-17 + 31) / 2 = 14 / 2 = 7.

Тогда больший катет равен: 17 + 7 = 24 см.

Периметр треугольника равен: 25 + 24 + 7 = 56 см.

Ответ: 56 см.

3.

Зависимость количества диагоналей и сторон многоугольника имеет вид:

d = (n * (n – 3) / 2, где d – количество диагоналей, n – количество сторон.

65 = (n² – 3 * n) / 2.

n² – 3 * n – 130 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-3)² – 4 * 1 * (-130) = 9 + 520 = 529.

Х₁ = (3 - √529) / (2 * 1) = (3 – 23) / 2 = -20 / 2 = -10. (Не подходит).

Х₂ = (3 + √529) / (2 * 1) = (3 + 23) / 2 = 26 / 2 = 13.

Ответ: У многоугольника 13 сторон.

4.

Пусть процент по вкладу равен Х%.

Тогда за первый год вкладчик получит: (5000 + 5000 * Х) руб, а за второй год (5000 + 5000 * Х) * Х.

Тогда: (5000 + 5000 * Х) + (5000 + 5000 * Х) * Х = 5408.

5000 * Х² + 10000 * Х – 408 = 0.

5 * Х² + 10 * Х – 0,408 = 0.

Решив квадратное уравнение Х = 0,04 = 4%.

Ответ: 4%.

5.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2PvciSz).

Так как вершины В и С трапеции лежат на графике функции У = √Х, а АВ = 2 см, то координаты точки А = (4; 0), а длина отрезка ОА = 4 см.

Пусть АД = Х см, тогда длина ОД = (Х + 4) см, а длина отрезка СД = √(Х + 4) см.

Тогда в прямоугольном треугольнике АСД, по теореме Пифагора:

АС² = АД² + СД².

16 = Х² + (√(Х + 4))².

Х² + Х – 12 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х₁ = -4 (Не подходит).

Х₂ = АД = 3 см.

Ответ: АД равно 3 см.