1. Упростите выражения: а)2√2+√50-√98. b)(3√5-20)√5. c)(√3+√2)² 2. Сравните 1/2*√60 и 20√1/5 3. Сократите дробь а)(5-√5)/(√10-√2). b) (b-1)/(√b-2) 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе a)2/3√7. b)1/√11+3 5. Докажите, что значение выражения 1/1-3√5 + 1/1+3√5 есть число рациональное 6. При каких значениях х дробь (√х-2)/(х-4) принимает наибольшее значение?

1).

Для решения представим подкоренное выражение в виде произведения.

А).

2 * √2 + √50 - √98 = 2 * √2 + √2 * 25 - √2 * 49 = 2 * √2 + 5 * √2 - 7 * √2 = 0.

Б).

(3 * √5 - √20) * √5 = (3 * √5 - √4 * 5) * √5 = (3 * √5 – 2 * √5) * √5 = 5.

С).

(√3+√2)² = 3 + 2 * √3 * √2 + 2 = 5 + 2 * √6.

Ответ: 0; 5; 2 * √6.

2).

Возведем числа, которые не под знаком корня во вторую степень и внесем их под корень.

1/2 * √60 = √(1/4) * 60 = √15.

20 * √1/5 = √400 * 1/5 =√80.

√15  < √80, тогда и, 1/2 * √60 < 20 * √1/5.

Ответ: 1/2 * √60 < 20 * √1/5.

3).

(5 - √5) / (√10 - √2) = (√5 * √5 - √5) / (√2 * √5 - √2) = √5 * (√5 – 1) / √2 * (√5 – 1) = √5 / √2.

(b – 1) / (√b - 1) = (√b – 1) * (√b + 1) / (√b – 1) = √b + 1.

Ответ: √5 / √2, √b + 1.

4).

А).

Умножим числитель и знаменатель на √7.

2 / 3 * √7 = 2 * √7 / 3 * √7 * √7 = 2 * √7 / 21.

В).

Умножим числитель и знаменатель на √(11 - 3).

1 / √(11 + 3) = 1 * √(11 - 3) / √(11 + 3) * √(11 - 3) = √(11 - 3) / (11 – 3) = √(11 - 3) /  7.

Ответ: 2 * √7 / 21; √(11 - 3) /  7.

5).

Приведем дроби к общему знаменателю и произведем сокращения.

1 / (1 – 3 * √5) + 1 / (1 + 3 * √5) = ((1 + 3 * √5) + (1 - 3 * √5)) / (1 + 3 * √5) * (1 - 3 * √5) = 2 / (1 – 9 * 5) = 2 / (-44) = -1 / 22.

Что и требовалось доказать.

6).

Представим знаменатель (х - 4) в виде разности квадратов: (х - 4) = ((√х)² – 2²) = (√х - 2) * (√х + 2), тогда:

(√х - 2) / (х - 4) = (√х - 2) / (√х - 2) * (√х + 2) = 1 / (√х + 2).

Из полученного выражения видно, что наибольшее значение дробь принимает при Х = 0 и равна ½.

Ответ: При Х = 0 дробь принимает максимальное значении.