1.В треугольнике abc известно, что ac=5√2см угол b=45 угол с=30° .Найдите сторону ab 2.Одна сторона треугольника на 3см меньше другой, а угол между ними равен 60° Найдите периметр треугольника если его третья сторона равна 7. 3.Найдите Радиус окружности вписанной в треугольник со сторонами 4,13,15 4.Стороны треугольника равны 4,5,7 Найдите медиана треугольника проведенной к его меньшей стороне.

1.Решение. Согласно теореме синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

 Если стороны треугольника обозначим через   a, b, c,  а углы α,  β,  γ , то;

a / sinα = b / sinβ = c /sinγ .

ab / sin45⁰ = ac / sin30^{0   →}   ab / (√2/2) = 5√2 / (1 / 2) ;

вычислив выражение получаем:  ab = 10√2   

  Ответ: 10√2 .

2. Решение.

Пусть сторона треугольника  AB = x см , тогда AC =(x - 3) см.

Тогда по теореме косинусов  BC² = AB² + AC² - 2 * 2 AB *AC * cosA.

49 = x² + (x - 3)² - 2 * cos60⁰      x² -3x - 24 = 0 .

D = 9 + 4 * 24 = 105;

x1 = (3 - √105) / 2 - результат будет отрицательным, поэтому не удовлетворяет условию задачи; 

 x2 = (3 + √105) / 2 = 1,5 + √52,5.

Ответ: 1,5 + √52,5.

3. Решение.

Радиус вписанной (r) окружности  в треугольник находят по формуле:

r = √((p - a) * (p - b) * (p - c)) / p 

Здесь: 

 - а, b и с  стороны,   - p  полупериметр треугольника,

  р =(а + в + с) / 2.

Подставляя значения сторон получаем:

r = √ ((16 - 4) * (16 - 13) * (16 - 15)) / 16 = √(36 / 16) = 3 / 2 = 1,5

Ответ: 1,5

4. Решение.

Дано: a = 4, b = 5,  c = 7 . Найти m.

Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

m = 1 / 2 * √(2 * a² + 2 * b² - c²) ;

где m - медиана треугольника проведенной к его меньшей стороне.

m = 0,5 * √(2 * 5² + 2 * 7² - 4²) = 0,5 * √(50 + 98 -16) = 0,5 * √ 132 = 0,5 * 2√33 = 2√33

Ответ : 2√33