1) В треугольной усеченной пирамиде с высотой,равной 10,стороны одного из оснований 27,29,52. Определить объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72. 2)В правильной усеченной четырехугольной пирамиде диагональ равна 18, длина стороны нижнего основания равна 14, длина стороны верхнего основани равна 10.Найти объем усеч. пирамиды.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2ww4NDw).

Рис. 1

Определим периметр треугольника АВС.

Равс = (27 + 29 + 52) = 108 см.

Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, а отношение их периметров равно коэффициенту их подобия. К = Ра1в1с1 / Равс = 72 / 108 = 2/3.

По теореме Герона определим площадь треугольника АВС.

Полупериметр треугольника А1В1С1 равен: р = 108 / 2 = 54 см.

Sа1в1с1 = √54 * (54 – 27) * (54 – 29) * (54 – 52) = √72900 = 270 см².

Sа1в1с1 / Sавс = К² = 4/9.

Тогда Sа1в1с1 = Sавс * 4 / 9 = 270 * 4 / 9 = 120 см².

Определим объем усеченной пирамиды.

V = OO1 * (Sавс + Sа1в1с1 + √Sавс * Sа1в1с1) / 3 = 10 * (270 + 120 + √32400) / 3  = 1900 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 1900 см³.

Рис. 2

Определим диагонали оснований усеченной пирамиды.

АС² = АД² + СД² = 196 + 196 = 2 * 196.

АС = 14 * √2 см.

Определим диагонали оснований усеченной пирамиды.

А1С1² = А1Д1² + С1Д1² = 100 + 100 = 2 * 100.

А1С1 = 10 * √2 см.

Диагональное сечение АА1С1С есть равнобедренная трапеция.

Построим высоту С1Н. Длина отрезка АН = (АС + А1С1) / 2 = (14 * √2 + 10 * √2) / 2 = 12 * √2 см. В прямоугольном треугольнике АС1Н, по теореме Пифагора, С1Н² = АС1² – АН² = 324 – 288 = 36. С1Н = 6 см.

Определим площади оснований пирамиды.

S₁ = AB² = 14² = 196 см².

S₂ = А1В1² = 10² = 100 см².

Определим объем усеченной пирамиды.

V = С1Н * (S₁ + S₂ + √S₁ * S₂) / 3 = 6 * (196 + 100 + √19600) / 3  = 872 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 872 см³.