1. Вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, последовательно соединены отрезками. Докажите, что полученный четырёхугольник - правильный. 2. В окружности радиуса два корень из трёх см вписан правильный треугольник. Найдите: а) сторону треугольник; б) радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2vUQnwF).

Рис. 1

Определим величину угла при вершине восьмиугольника.

Угол АВС = 180 * (n – 2) /  = 180 * 6 / 8 = 135⁰.

Отрезки АС, СД, ДЕ, АЕ отсекают от восьмиугольника четыре равных, равнобедренных треугольника.

Угол ВАС = ВСА = (180 – 135) / 2 = 22,5⁰.

Тогда угол АСД = 135 – 22,5 – 22,5 = 90⁰. Аналогично угол СДЕ = ДЕА = САЕ = 90⁰, а так как АС = СД = ДЕ = АЕ, то АСДЕ квадрат, что и требовалось доказать.

Рис. 2

Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен: R = AB / √3.

AB = R * √3 = 2 * √3 * √3 = 6 см.

Тогда радиус вписанной окружности равен: r = АВ * √3 / 6 = 6 * √3 / 6 = √3 см.

Ответ: Сторона треугольника равна 6 см, радиус вписанной окружности равен √3 см.