1)Вынесите общий множитель за скобки: (a-b)^2+3(a-b). 2)Докажите, что при n знак принадлежит (повёрнутая Э) N значение выражения: а)2^n+2^n+1+2^n+3 кратно 11; в) 125 * 25^n - 5^2n+1 имеет три простых делителя.

https://bit.ly/2NGXRWI

1) По определению квадрата числа (a - b)^2 = (a - b) * (a - b). Тогда:

(a - b)^2+3 * (a - b) = (a - b) * (a - b) + 3 * (a - b).

Можно заметить, что у выражений (a - b) * (a - b) и 3 * (a - b) есть общий множитель (a - b). Пользуясь распределительным законом, вынесем его за скобку. Получается:

(a - b) * (a - b) + 3 * (a - b) = (a - b) * (a - b + 3).

2)  а) По свойству степеней а ^ (b + c) = (a ^ b) * (a ^ c). Тогда для нашего выражения получаем:

2 ^ n + 2 ^ (n + 1) + 2 ^ (n + 3) = (2 ^ n) * 1 + (2 ^ n) * (2 ^ 1) + (2 ^ n) * (2 ^ 3).

Снова используем распределительный закон, выносим за скобку 2 ^ n:

2 ^ n * 1 + (2 ^ n) * (2 ^ 1) + (2 ^ n) * (2 ^ 3) = (2 ^ n) * (1 + 2 ^ 1 + 2 ^ 3).

2 ^ 1 = 2.

2 ^ 3 = 8.

(2 ^ n) * (1 + 2 ^ 1 + 2 ^ 3) = (2 ^ n) * (1 + 2 + 8) = (2 ^ n) * 11.

Так как по условию число n натуральное, число (2 ^ n) * 11 тоже натуральное и нацело делится на 11, что и соответствует определению кратности.

в) 25 = 5 ^ 2.

По свойству степеней (a ^ b) ^ c = a ^ (b * c). Преобразуем выражения, пользуясь этими данными и свойством из пункта (а):

125 * 25 ^ n - 5 ^ (2n + 1) = 125 * (5 ^ (2n)) - (5 ^ (2n)) * 5.

Пользуемся распределительным законом и выносим общий множитель 5 ^ (2n) за скобку:

125 * (5 ^ (2n)) - (5 ^ (2n)) * 5 = (5 ^ (2n)) * (125 - 5) = (5 ^ (2n)) * 120.

120 = 5 * 3 * 2 ^ 3 (разложение представлено на изображении).

(5 ^ (2n)) * 120 = (5 ^ (2n)) * 5 * 3 * 2 ^ 3 = (5 ^ (2n + 1)) * 3 * 2 ^ 3.

Так как число n натуральное, то и число (5 ^ (2n + 1)) * 3 * 2 ^ 3 натуральное, а так как оно является произведением степеней простых чисел 5, 3 и 2, то они являются его единственными простыми делителями.