18. Докажите, что если в четырёх­угольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Рисунок:  https://bit.ly/2xbaLcT

Все стороны четырехугольника будут касательными к вписанной окружности. Проведем из центра окружности О перпендикуляр к каждой стороне, по которым определим точки касания.

Известно, что отрезки, касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны. Составим равенства для произвольного четырехугольника АВСD с вписанной окружностью:

АК = AN; KB = BL; CL = CM; MD = ND; (1)

Сумма противоположных сторон АВ и DC, как сумма их отрезков:

АВ + DС =  АК + KB + DM + MC (2)

Каждый из отрезков в силу равенств (1) можем заменить на равный ему:

 АВ + DС =  AN + ВL + ND + LC  = (AN + ND) + (BL + LC) = AD + BC.

Равенство сумм противоположных сторон доказано.