Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством sin^2(x)+cos^2(x)=1, распишем правую часть уравнения:
3 +9 cos(x) = 5(1-cos^2(x)).
Приведём подобные и переместим все слагаемые в левую часть:
5cos^2(x) + 9cos(x) - 2 = 0.
Проведём замену:
cos(x) = t.
Тогда получим квадратное уравнение, которое решим относительно переменной t:
5t^2 + 9t - 2 = 0;
D = 9^2 - 4 * 5 * (-2) = 121 = 11^2;
t_1 = (- 9 - 11) / (2 * 5) = - 2;
t_2 = (- 9 + 11) / (2 * 5) = 1 / 5.
Произведем обратную замену:
t = cos(x);
cos(x)_1 = - 2;
cos(x)_2 = 1 / 5.
Так как по определению -1 <= cos(x) <= 1, то ответ cos(x)_1 = - 2 не имеет решения, поэтому ответ найдем из уравнения
cos(x) = 1 / 5;
x = (+/-) arccos(1/5) + 2пn, где n - целое число.
Прим.:
t_1 - t с нижним индексом 1;
t^2 - t в степени 2;
(+/-) - знак "плюс-минус";
<= - меньше или равно