1. Воспользуемся формулами приведения:
6sin²x + 5sin(π/2 - x) - 2= 0;
а) sin(π/2 - x);
- функция меняется на противоположную;
- угол (π/2 - x) находится в первой четверти, синус положительный;
sin(π/2 - x) = cosх;
2. Подставим полученные значения:
6sin²x + 5cosх - 2= 0;
3. Применим формулу основного тождества тригонометрических функций:
sin²x = 1 - cos²x;
6(1 - cos²x) + 5cosx - 2 = 0;
6 - 6cos²x + 5cosx - 2 = 0;
- 6cos²x + 5cosx + 4 = 0;
6cos²x - 5cosx - 4 = 0;
4. Выполним замену сosx = у, |y| ≤ 1:
6y² - 5y - 4 = 0;
Вычислим дискриминант:
D = b² - 4ac = ( - 5)² - 4 * 6 * ( - 4) = 25 + 96 = 121;
D › 0, значит:
у1 = ( - b - √D) / 2a = (5 - √121) / 2 * 6 = (5 - 11) / 12 = - 6 / 12 = - 1/2;
у2 = ( - b + √D) / 2a = (5 + √121) / 2 * 6 = (5 + 11) / 12 = 16 / 12 = 1 4/12 = 1 1/3, не подходит по условию;
Тогда, если у1 = - 1/2, то:
сosx = - 1/2;
x = ± arccos( - 1/2) + 2πm, m ∈ Z;
x = π ± arccos(1/2) + 2πm, m ∈ Z;
x = π ± π/3 + 2πm, m ∈ Z;
Ответ: x = π ± π/3 + 2πm, m ∈ Z.