A^3+b^3+c^3-3abc-разложить на множители

   Разложите на множители выражение:

      a³ + b³ + c³ – 3abc.

   Решение.

  Преобразование с помощью формулы для куба суммы двух выражений

      Для преобразований воспользуемся формулой для возведения двучлена в куб:

      (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

   Для удобства преобразований обозначим исходный многочлен Q:

      Q = a³ + b³ + c³ – 3abc. (1)

   С помощью формулы для куба суммы выражений "b" и "с" получим:

      (b + c)³ = b³ + 3b²c + 3bc² + c³;

      (b + c)³ = b³ + c³ + 3bc(b + c), отсюда

      b³ + c³ = (b + c)³ - 3bc(b + c). (2)

   Подставив значение для b³ + c³ из уравнения (2) в уравнение (1), получим:

      Q = a³ + (b + c)³ - 3bc(b + c) - 3abc.

  Преобразование с помощью формулы для суммы кубов двух выражений

   Воспользуемся формулой для суммы кубов:

      x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²).

   Применим эту формулу для выражений "a" и "b + c", а для остальных членов многочлена вынесем общий множитель "- 3bc":

• Q = a³ + (b + c)³ - 3bc(b + c) - 3abc;
• Q = (a + b + c)(a² - a(b + c) + (b + c)²) - 3bc(b + c + a);
• Q = (a + b + c)(a² - ab - ac + b² + 2bc + c²) - 3bc(a + b + c).

   Вынесем общий множитель (a + b + c) и приведем подобные члены:

      Q = (a + b + c)(a² - ab - ac + b² + 2bc + c² - 3bc);

      Q = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc).

   Ответ:

      a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc).

 

Воспользуемся формулой куба суммы трёх слагаемых: ( a + b + c )^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 * a^2 * b + 3 * a^2 * c + 3 * a * b^2 + 3 * a * c^2 + 3 * b^2 * c + 3 * b * c^2 + 6 * a * b * c . Тогда искомое: a^3 + b^3 + c^3 - 3 * a * b * c = ( a + b + c )^3 - 9 * a * b * c - 3 * a^2 * b - 3 * a^2 * c - 3 * a * b^2 - 3 * a * c^2 - 3 * b^2 * c - 3 * b * c^2 . Для сокращения записей обозначим искомое как x ( икс ): x = ( a + b + c )^3 - 9 * a * b * c - 3 * a * ( a * b + a * c ) - 3 * a * ( b * b + c * c ) - 3 * b * c * ( b + c ) ; x = ( a + b + c )^3 - 6 * a * b * c - 3 * ( b + c ) * ( a * a + b * c * ) - 3 * a * ( b * c + b * b + c * c ) ; x = ( a + b + c )^3 - 3 * a * b * c - 3 * ( b + c ) * ( a * a + a * b + a * c + b * c * ) ; x = ( a + b + c )^3 - 3 * a * ( b + c ) * ( a + b + c ) - 3 * ( a + b + c ) * b * c ; x = ( a + b + c )^3 - 3 * ( a + b + c ) * ( a * b + a * c + b * c ) ; a^3 + b^3 + c^3 - 3 * a * b * c = ( a + b + c ) * ( ( a + b + c )^2 - 3 * ( a * b + a * c + b * c ) ) ; a^3 + b^3 + c^3 - 3 * a * b * c = ( a + b + c ) * ( a^2 + b^2 + c^2 - a * b - a * c - b * c ) . Условиям задачи удовлетворяют последние две формулы.