а) Так как в прямоугольнике стороны относятся как 1:2, а сумма длин всех егосторон равна 48 см, то выразим это так:
х – длина стороны АВ и СД;
2х – длина стороны ВС и АД;
х + 2х + х + 2х = 48;
6х = 48;
х = 48 / 6 = 8;
АВ = СД = 8 см;
ВС= АД = 2 · 8 = 16 см.
Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 16 см.
б) Биссектрисой является отрезок, который делит угол, из которого выходит, пополам. Таким образом:
∠АВК = ∠КАД = ∠ВАД / 2;
∠АВК = ∠КАД = 90º / 2 = 45º.
Рассмотрим треугольник ΔАВК. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом ∠В.
Так как в треугольнике сумма градусных мер всех углов равна 180º, то:
∠ВКА = 180º - ∠АВК - ∠ВАК;
∠ВКА = 180º - 90º - 45º = 45º.
Из этого видим, что данный треугольник есть равнобедренным с боковыми сторонами АВ и ВК:
АВ = ВК = 6 см.
Так как сторона ВС разделена на две части, то длина ее равна сумме этих частей:
ВС = ВК + КС;
ВС = 2 + 6 = 8 см.
Р = 6 + 8 + 6 + 8 = 28 см.
Ответ: периметр прямоугольника равен 28 см.
в) Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник ΔАВС. Диагональ АС является его гипотенузой, а сторона АВ одним из катетов.
Так как сторона АВ относится к диагонали АС как 1:2, то угол ∠ВАС будет равен:
cos ВAС = 1 / 2, что соответствует углу 60º.
Так как треугольник ΔАВО равнобедренный, а сумма всех углов треугольника равна 180º, то:
∠АОВ = 180º - ∠ВАО - ∠АВО;
∠АОВ = 180º - 60º - 60º = 60º.
Ответ меньший угол между диагоналями равен 60º.