Геннадий8 лет назад
- Требуется найти производную степенно-показательной функции у = (arctgx)x.
- Напомним, что степенно-показательная функция – это функция, имеющая вид степенной функции y = uv, у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x: u = u(x); v = v(x). Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.
- Производная степенно-показательной функции определяется по формуле: (uv)' = v * uv – 1 * u' + uv * v' * lnu.
- Применим эту формулу для нашей функции у = (arctgx)x, при этом учитываем, что у нас u = arctgx, а v = х.
- По таблице производных элементарных функций, имеем (х)' = 1 и (arctgx)' = 1 / (1 + х2).
- Таким образом, ((arctgx)x)' = х * (arctgx)x – 1 * (arctgx)' + (arctgx)x * x' * ln(arctgx) = х * (arctgx)x – 1 * (1 / (1 + х2)) + (arctgx)x * 1 * ln(arctgx) = (arctgx)x – 1 * (х / (1 + х2) + (arctgx) * ln(arctgx)).
Ответ: ((arctgx)x)' = (arctgx)x – 1 * (х / (1 + х2) + (arctgx) * ln(arctgx)).