Через точку С окружности с центром O провели касательную к этой окружности,АВ-диаметр окружности.Из точки А на касательную опущен перпендикуляр АD.Докажите,что луч АС-биссектриса угла ВAD

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2rFBAQI).

Рассмотрим случай, когда диаметр АВ не параллелен касательной ДЕ

Из центра окружности О проведем радиус к точке касания С.

По свойству касательной, радиус ОС перпендикулярен касательной ДЕ, а так как, по условию, отрезок АД перпендикуляр к касательной, то четырехугольник ДСОА прямоугольная трапеция.

В трапеции АДСО, основание ОС равно боковой стороне ОА, как радиусы окружности, тогда треугольник АОС равнобедренный и угол ОАС = ОСА. Угол ДАС = ОСА как накрест лежащие углы, при пересечении параллельных прямых АД и ОС секущей АС, тогда угол ДАС = ОАС, а следовательно АС биссектриса угла ДАО, что и требовалось доказать.