Дана функция f(x)=2х+3 3√x ^2 Найдите: а) критические точки функции f(x) на отрезке [-8;1]; б) наибольшее и наименьшее

Question

Дана функция f(x)=2х+3 3√x ^2 Найдите: а) критические точки функции f(x) на отрезке [-8;1]; б) наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [-8;1];

Accepted Answer

Рассмотрим функцию f(x) = 2 * х + 3 * 3√(х²). По требованию задания, найдём критические точки, а также наибольшее и наименьшее значения данной функции на отрезке [-8; 1]. Напомним, что необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Критические точки функции – это точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Если производная равна 0, то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум. а) Найдем производную функции: y' = f Ꞌ(x) = (2 * x + 3 * x2/3)' = 2 + 2 * x-1/3 = 2 + 2 / x⅓. Последний вид производной нашей функции наглядно показывает, что она при х = 0 не имеет смысла (на 0 делить нельзя), то есть, в этой точке она бесконечна. Таким образом, нашли одну критическую точку х = 0. Для того, чтобы найти другие критические точки (если, конечно, таковые существуют), приравнивая производной к нулю, получим уравнение 2 + 2 / x⅓ = 0. Решим его, считая х ≠ 0. Имеем (2 * x⅓ + 2) / x⅓ = 0 или (с учётом х ≠ 0) x⅓ = -1, откуда х = -1. Это означает, что нашли ещё одну критическую точку х = -1. Поскольку найденные критические точки принадлежат отрезку [-8; 1], то Ответ: х = 0 и х = -1. б) Проверим поведение функции в достаточной близкой окрестности критических точек. С этой целью, определим значение (точнее, его знак) производной до и после критических точек. Сначала исследуем критическую точку х = -1. Имеем f Ꞌ(x) > 0 при х = [-8; -1) и f Ꞌ(x) < 0 при (-1; 0). Это означает, что данная функция принимает максимальное значение (локальный максимум) при х = -1, а её значение равно f(-1) = 2 * (-1) + 3 * 3√((-1)²) = -2 + 3 * 1 = 1. Теперь рассмотрим критическую точку х = 0. Поскольку данная функция в этой точке непрерывна и f Ꞌ(x) < 0 при (-1; 0), а в интервале (0; 1] она положительна (f Ꞌ(x) > 0), то данная функция принимает минимальное значение (локальный минимум) при х = 0 и её значение равно f(0) = 2 * 0 + 3 * 3√(0²) = 0. Вычислим, теперь, значение функции на краях отрезка: f(-8) = 2 * (-8) + 3 * (-8)2/3 = -16 + 3 * 4 = -4; f(1) = 2 * 1 + 3 * 12/3 = 2 + 3 = 5. Сравнивая найденные значения, f(-8) = -4, f(-1) = 1, f(0) = 0 и f(1) = 5, даём Ответ: На отрезке [-8; 1] данная функция имеет наибольшее f(1) = 5 и наименьшее f(-8) = -4 значения.

Дана функция f(x)=2х+3 3√x ^2 Найдите: а) критические точки функции f(x) на отрезке [-8;1]; б) наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [-8;1];

Ответы1