Дана функция y=lntgx. Найдите её производную при x=п/12

1. Дана сложная функция, в составе которой имеются логарифмическая функция и тангенс функция. Для того, чтобы найти производную функции y = ln(tgx) применим следующую табличную информацию: (lnu)ꞌ = uꞌ / u и (tgх)ꞌ = 1 / cos²х.
2. Имеем yꞌ = (ln(tgx))ꞌ = (tgх)ꞌ / tgx = (1 / cos²х) / tgx = 1 / (cos²х * tgx).
3. Далее воспользуемся следующими двумя формулами: tgα = sinα / cosα и sin(2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла). Имеем: yꞌ = 1 / (cos²х * sinх / cosх) = 1 / (sinх * cosх) = 2 / (2 * sinх * cosх) = 2 / sin(2 * х). Итак, нашли производную yꞌ = 2 / sin(2 * х).
4. Теперь найдём значение производной при x = π/12. Вычислим: yꞌ(π/12) = 2 / sin(2 * π/12) = 2 / sin(π/6). Согласно таблице основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, имеем: sin(π/6) = ½. Следовательно, yꞌ(π/12) = 2 / (½) = 4.

Ответ: 4.