Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника: x + y − 2 = 0 и 7x − y + 4 = 0 и точка (3; 5) на его основании. Найти уравнение прямой, на которой лежит основание.

   1. Угловые коэффициенты боковых сторон:

   1)

• x + y − 2 = 0;
• y = -x + 2;
• k1 = -1;

   2)

• 7x − y + 4 = 0;
• y = 7x + 4;
• k2 = 7.

   2. Высота является биссектрисой:

• φ = (φ1 + φ2)/2;
• 2φ = φ1 + φ2;
• tg(2φ) = tg(φ1 + φ2);
• tg(2φ) = (tgφ1 + tgφ2)/(1 - tgφ1 * tgφ2);
• tg(2φ) = (k1 + k2)/(1 - k1 * k2);
• tg(2φ) = (-1 + 7)/(1 + 1 * 7) = 6/8 = 3/4;
• 2tgφ/(1 - tg^2φ) = 3/4;
• 8tgφ = 3(1 - tg^2φ);
• 8tgφ = 3 - 3tg^2φ;
• 3tg^2φ + 8tgφ - 3 = 0;

• tgφ = k;
• 3k^2 + 8k - 3 = 0;
• D/4 = 4^2 + 3 * 3 = 25;
• k = (-4 ± √25)/3 = (-4 ± 5)/3;

   1) k = (-4 - 5)/3 = -9/3 = -3;

   2) k = (-4 + 5)/3 = 1/3.

   Для точки (3; 5) подходит k = 1/3.

   3. Уравнение основания:

• k' = -1/k = -3;
• y - 5 = -3(x - 3);
• y = -3x + 9 + 5;
• y = -3x + 14.

   Ответ: y = -3x + 14.