Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O . Точка P такова, что DOCP — тоже параллелограмм ( CD — его диагональ). Обозначим через Q точку пересечения BP и AC , а через R — точку пересечения DQ и CP. Докажите, что PC= CR.

Решение задачи ; Заметим, что отрезки DP и BC параллельны и равны ; Поэтому BOPC — параллелограмм, откуда QC = OC / 2 = PD / 2 ; Таким образом, отрезок QC с концами на сторонах RD и RP треугольника DRP параллелен стороне DP этого треугольника и равен её половине ; Значит, он является средней линией этого треугольника ; Следовательно, C — середина отрезка RP , что и требовалось доказать.

Точка p вне параллелограмма abcd выбрана так, что сторона cd — диагональ нового параллелограмма docp. Точка q лежит на пересечении bp и ac, а точка r лежит на пересечении dp и cp. Докажите, что pc = cr.

Выполните построения

Выполните построения, отталкиваясь от условия. Сравните построения с рисунком по ссылке http://bit.ly/2z1j7Ut.

Если cd диагональ нового параллелограмма, то из рисунка видно, что на нее опираются две стороны — это половинки диагоналей do и oc. Проведите через точки c и d прямые, параллельные do и oc. На пересечении отметьте точку p. Соедините точку b c точкой p. На пересечении bp с диагональю ac отметьте точку q. Начертите прямые, чтобы они проходили через точки d и q, а также через c и p так, чтобы они пересекались. На пересечении отметьте точку r.

В условии не указано, но соедините отрезком точки о и p.

Проанализируйте рисунок

Обратите внимание на четырехугольник obpc.

Из построений следует:

• cp ||od,
• cp||bd,
• сp = od =ob.

Получается, что op построена на концах равных и параллельных отрезков. Четырехугольник obpc, имеющий две равные и параллельные стороны — параллелограмм.  Точка q находится на пересечении диагоналей dp и oc. Тогда cq = co/2 = dp/2.

Δqrc  подобен Δdrp. У треугольников угол r — общий, а стороны противоположные углу r параллельны: qc ||dp. Углы, прилегающие к qc и dp равны, как соответственные и односторонние.

Для подобных Δqrc  и Δdrp справедливо отношение: cq / dp = rc / rp. Подставьте вместо cq выражение dp/2:

(dp / 2) / dp = rc / rp;

rc = rp / 2;

cp = rp - rc = rp - rp / 2 = rp/2;

cp = rc.

Равенство отрезков rc и сp доказано.