Дышать уже нечем или ничем?

Это 2 местоимения, которые пишутся в зависимости от случая. Правило называется "Правописание НЕ, НИ в отрицательных местоимениях". НЕ, НИ - это приставки. Под ударением пишется НЕ, без ударения - НИ. 
Например:
Я ничем не занимаюсь. В данном примере ударение не падает на гласную букву в приставке, следовательно пишется НИчем.
В предложении "Дышать уже нечем" местоимение пишется с приставкой НЕ, т.к. ударение падает на гласную букву в приставке.
Ответ: Дышать уже НЕчем, т.к. под ударением.