Длины двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, равны  18 18 и  3 29 3 29 ​ . Найди сумму длин их проекций, если их длины относятся как  4 : 3 4:3.

Дано: - Длины наклонных \( l_1 = 18 \) и \( l_2 = 3\sqrt{29} \). - Длины проекций наклонных относятся как \( 4 : 3 \). Требуется найти сумму длин проекций наклонных. --- **Решение:** 1. Обозначим: - Длины проекций наклонных как \( p_1 \) и \( p_2 \). - Отношение длин проекций \( p_1 : p_2 = 4 : 3 \). 2. Пусть \( p_1 = 4k \) и \( p_2 = 3k \), где \( k \) — коэффициент пропорциональности. 3. Используем теорему Пифагора для каждой наклонной: - Для первой наклонной: \[ l_1^2 = p_1^2 + h^2, \] где \( h \) — длина перпендикуляра из точки к плоскости. - Для второй наклонной: \[ l_2^2 = p_2^2 + h^2. \] 4. Подставляем известные значения: - Для первой наклонной: \[ 18^2 = (4k)^2 + h^2 \quad \Rightarrow \quad 324 = 16k^2 + h^2. \] - Для второй наклонной: \[ (3\sqrt{29})^2 = (3k)^2 + h^2 \quad \Rightarrow \quad 261 = 9k^2 + h^2. \] 5. Вычитаем второе уравнение из первого: \[ 324 - 261 = 16k^2 - 9k^2 \quad \Rightarrow \quad 63 = 7k^2. \] 6. Находим \( k^2 \): \[ k^2 = \frac{63}{7} = 9 \quad \Rightarrow \quad k = 3. \] 7. Находим длины проекций: \[ p_1 = 4k = 12, \quad p_2 = 3k = 9. \] 8. Сумма длин проекций: \[ p_1 + p_2 = 12 + 9 = 21. \] --- **Ответ:** \[ \boxed{21} \]