Паша7 лет назад
- Прежде всего, выясним, о каких четырёх числах идёт речь. Очевидно, что если речь идёт о натуральных, даже, о целых числах, то эти числа можно представить так: n; n + 1; n + 2 и n + 3, где n – целое число. Докажем утверждение задания при любом r ∈ R, где R – множество действительных чисел.
- Обозначим через а среднее арифметическое чисел r; r + 1; r + 2 и r + 3, где r – действительное число. Вычислим а = (r + r + 1 + r + 2 + r + 3) : 4 = (4 * r + 6) : 4 = r + 1,5.
- Поскольку, а = r + 1,5, то r = а – 1,5; r + 1 = а – 0,5; r + 2 = а + 0,5 и r + 3 = а + 1,5.
- Обозначим через Р произведение рассматриваемых четырех последовательных чисел в сумме с единицей. Тогда, имеем: Р = (а – 1,5) * (а – 0,5) * (а + 0,5) * (а + 1,5) + 1. Примерим формулу сокращенного умножения (a – b) * (a + b) = a2 – b2 (разность квадратов) для соответствующих скобок, а затем раскроем все скобки. Имеем: Р = (а² – 0,25) * (а² – 2,25) + 1 = а4 – 0,25 * а² – 2,25 * а² + 0,5625 + 1 = а4 - 2,5 * а² + 1,5625.
- Для того, чтобы, представить последнее выражение как полный квадрат, воспользуемся формулой сокращенного умножения (a – b)2 = a2 – 2 * a * b + b2 (квадрат разности). Имеем: Р = (а²)² – 2 * а² * 1,25 + (1,25)² = (а² – 1,25)². Что и требовалось доказать.