В равностороннем треугольнике все стороны равны, углы равны, а высота, опущенная на любую из сторон из противолежащего угла, делит эту сторону пополам.
Пусть сторона треугольника – a, высота – h.
После проведения высоты образовались 2 одинаковых прямоугольных треугольника.
И высоту в прямоугольном треугольнике можно найти следующими способами:
1) Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе (a/2)2 + h2 = a2.
Откуда получаем, что h = a√3/2.
2) sin 60° - это отношение противолежащего катета h к гипотенузе a.
sin 60° = h/a.
h = a * sin 60° = a√3/2.
Площадь прямоугольного треугольника определяется как половина произведения двух катетов h и a/2.
Sпр.уг. = ½ * h * a/2 = ½ * a√3/2 * a/2 = a2 √3/8.
Площадь равностороннего треугольника будет равна двух площадям прямоугольного треугольника.
S = 2 * Sпр.уг. = 2 * a2 √3/8 = a2 √3/4.
Ответ: площадь равностороннего треугольника со стороной a равна a2 √3/4.