Разложим данное выражение на множители:
n^3 - n = n * (n^2 - 1) = n * (n - 1) * (n + 1) =
=(n - 1) * n * (n + 1).
Мы получили, что данное выражение при любом n есть произведение трёх последовательных натуральных чисел. Одно из них будет обязательно делиться на 3, а значит и все выражение будет делиться на 3.
Если n - нечетное число, то его можно представить в виде:
n = 2 * k + 1, k - натуральное число.
Подставим это представление в разложение исходного выражения:
(n - 1) * n * (n + 1) = 2 * k * (2 * k + 1) * (2 * k + 2) =
= (2 * k + 1) * 4 * k * (k + 1).
Так как k и (k + 1) два последовательных натуральных числа, то одно из них обязательно делится на 2. Следовательно, все выражение будет делится на 4 * 2 = 8.
Мы доказали делимость выражения на 3 и на 8, а значит и делимость на 3 * 8 = 24.