докажите что средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию площади которых относятся как 1:3

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3dsMpxj).

КМ средняя линия треугольника АВС.

Построим высоту ВН, пусть ВН = h.

Средняя линия делит высоту пополам, тогда ВО = НО = h / 2.

Длина средней линии равна:

КМ = АС / 2.

Площадь треугольника АКМ равна:

Sавс = КМ * (h / 2) / 2  = (АД / 2) * (h / 2) / 2 = АД * h / 8 см^2.

Площадь трапеции АКМС равна:

Sакмс = (АД + КМ) / 2 * (h / 2) = (АД + АД / 2) * h / 4 = (3 * АД / 2) * h / 4 = 3 * АД * h / 8 см^2.

Тогда Sавс / Sакмс = АД * h / 3 * АД * h = 1/3, что и требовалось доказать.