Докажите неравенство a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

Заметим, чтодля любых a и b:

(a - b)^2 >= 0 <=> a^2 + b^2 - 2 * a * b > = 0 <=> a^2 + b^2 >= 2 * a * b.

Следовательно, имеем три неравенства:

a^2 + b^2 >= 2 * a * b,

a^2 + с^2 >= 2 * a * с,

b^2 + с^2 >= 2 * b * c.

Сложим правые и левые части этих неравенств:

(a^2 + b^2) + (a^2 + с^2) + (b^2 + с^2) >= 2 * a * b + 2 * a * с + 2 * b * c,

2 * (a^2 + b^2 + с^2) >= 2 * (a * b + a * с + b * c),

a^2 + b^2 + с^2 >= a * b + a * с + b * c, что и требовалось доказать.