Докажите справедливость неравенства а) х^2+y^2-6x+4y+130 б) х^4+13х^2-6х+60 в) x^2+3 корень из x^4+6x^2+8

Question

Докажите справедливость неравенства а) х^2+y^2-6x+4y+13>0 б) х^4+13х^2-6х+6>0 в) x^2+3> корень из x^4+6x^2+8

Accepted Answer

х2 + у2 – 6х + 4у + 13 > 0.

Рассмотрим левую часть неравенства:
сгруппируем слагаемые
х2 + у2 – 6х + 4у + 13 = (х2 – 6х + 9) + (у2 + 4у + 4) = (х – 3)2 + (у + 2)2.
(х – 3)2 > 0,  при всех х кроме х = 3.
(у + 2)2 > 0,  при всех у кроме у = -2.
(х – 3)2 + (у + 2)2 > 0 для всех точек кроме (3; -2).

х4 + 13х2 – 6х + 6 > 0.

Рассмотрим левую часть неравенства:
сгруппируем слагаемые
(х4) + (13х2 – 6х + 6).
13х2 – 6х + 6 > 0, т.к. D = 36 – 4 * 13 * 6 < 0.
х4 > 0.
Тогда:
(х4) + (13х2 – 6х + 6) > 0 при всех х.

х2 + 3 > √ (х4 + 6х2 + 8),

х2 + 3 > √ (х4 + 6х2 + 9 - 1),
х2 + 3 > √ ((х2 + 3)2 - 1),
т.к. х2 + 3 > 0, то возведем обе части в квадрат:
(х2 + 3)2 > (х2 + 3)2 – 1,
(х2 + 3)2 - (х2 + 3)2 > -1,
0 > -1.
Значит: х2 + 3 > √ (х4 + 6х2 + 8) при всех х.

Докажите справедливость неравенства а) х^2+y^2-6x+4y+13>0 б) х^4+13х^2-6х+6>0 в) x^2+3> корень из x^4+6x^2+8

Ответы1