Если к числителю дроби прибавить 1, а к знаменателю 2, то дробь не изменятся. Если же к числителю дроби прибавить 2, а из знаменателя вычесть 1, то дробьувелиться в 6 раз. Найдите эту дробь.

Пусть нам дана дробь Х/У.

В условии задачи сказано, что:

1) (Х+1) / (У +2) = Х/У,

2) (Х+2) / (У - 1) = 6Х/У.

Преобразуем эти уравнения:

1) ХУ + 2Х = ХУ + У,

2) 6ХУ - 6Х = ХУ + 2У.

Из первого уравнения: 2Х = У.

Х = У/2. Подставим это значение во второе уравнение:

6У × У/2 - 6 × У/2 = У × У/2 + 2У,

3У² - 3У = У²/2 + 2У,

(5У²)/2 - 5У = 0,

5У × (У/2 - 1) = 0,

то есть У = 0 или У/2 - 1 = 0.

Если У = 0, то и Х = 0. Эти значения нам не подходят.

Если У/2 - 1 = 0, то У = 2, а Х = 2/2 = 1.

Проверим полученные данные, поставив их в исходные уравнения: 

1) (1+1) / (2 +2) = 1/2,

2/4 = 1/2. Верно.

2) (1+2) / (2 - 1) = 6 × 1/2,

3/1 = 6/2,

3 = 3. Верно.

Ответ: Х = 1, У = 2. Значит искомая дробь 1/2.