F(x)=(2x+1) (x^2+3x-1) найти производную

Производную функции  f (x) = (2x + 1) (x² + 3x - 1) можно найти двумя способами.

1 - непосредственное дифференцирование

Представим функцию в виде произведения двух функций:

f (x) = g (x) * y (x), где g (x) = 2x + 1, y (x) = x² + 3x – 1.

f’ (x) = (g (x) * y (x))’.

В правой части производная произведения двух функций. Производная произведения функций равна сумме произведения первой функции на производную второй и произведения производной первой функции на вторую, т.е.:

f’ (x) = (g (x) * y (x))’ = g (x) * y’ (x) + g’ (x) * y (x).

Найдем y’ (x) и g’ (x):

• g’ (x) = (2x + 1)’ = 2 + 0 = 2.
• y’ (x) = (x² + 3x – 1)’ = 2х + 3 – 0 = 2х + 3.
• f’ (x) = (2x + 1) (2х + 3) + 2 * (x² + 3x - 1).

Упростим выражение:

f’ (x) = (2x + 1) (2х + 3) + 2 * (x² + 3x - 1) = 4х² + 8х + 3 + 2х² + 6х – 2 = 6х² + 14х + 1.

Ответ:  f’ (x) = 6х² + 14х + 1.

2 - предварительное упрощение дифференцируемой функции

Упростим выражение для f (x):

f (x) = (2x + 1) (x² + 3x - 1) = 2х³ + 6х² – 2х + x² + 3x – 1 = 2х³ + 7х² + x – 1.

Найдем производную полученной функции:

f’ (x) = (2х³ + 7х² + x – 1)’ = 6х² + 14х + 1.

Ответ:  f’ (x) = 6х² + 14х + 1.

Найти производную функции F(x) = (2x + 1)(x^2 + 3x - 1) можно двумя способами: 1). По формуле производной произведения (uv)’ = u’ * v + u * v’, где u = 2x + 1, v = x^2 + 3x – 1. F’(x) = (2x + 1)’ * (x^2 + 3x - 1) + (2x + 1) * (x^2 + 3x - 1)’ = 2(x^2 + 3x – 1) + (2x + 1)(2x + 3) = 2x^2 + 6x – 2 + 4x^2 + 6x + 2x + 3 = 6x^2 + 14x + 1. 2) Сначала упростим функцию, представим ее в виде многочлена, а потом найдем производную суммы одночленов. F(x) = (2x + 1)(x^2 + 3x - 1) = 2x^3 + 6x^2 – 2x + x^2 + 3x – 1 = 2x^3 + 7x^2 + x – 1; F’(x) = (2x^3 + 7x^2 + x – 1)’ = 6x^2 + 14x + 1. Ответ. 6x^2 + 14x + 1.