Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 8 см. По требованию задания, найдём длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей.
2. Катеты и гипотенузу данного прямоугольного треугольника обозначим, соответственно, через a, b и с. Тогда, согласно условиям задания, с = 8, а катеты a и b – неизвестны (здесь и далее в расчетах, до окончательного результата, опустим единицу измерения длины см).
3. Воспользуемся теоремой Пифагора, формула которой для нашего задания может быть оформлена в виде равенства с² = a² + b² или, после подстановки 8 вместо гипотенузы, 8² = a² + b². Рассмотрим последнее равенство как уравнение относительно одного катета (например, относительно катета b) и решим его. Тогда, имеем: b² = 64 - a², откуда b = ±√(64 - a²). Поскольку катет прямоугольного треугольника не может быть отрицательной величиной, то получим: b = √(64 - a²).
4. Как известно, площадь S прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ * a * b, где a и b – катеты прямоугольного треугольника. Подставляя в эту формулу последнее выражение для b из предыдущего пункта. Тогда, получим следующую функцию (от аргумента а) S(а) = ½ * a * √(64 - a²). Таким образом, условия задания свелись к нахождению наибольшего значения функции S(а) = ½ * a * √(64 - a²) в интервале (0; 8).
5. Для решения этой задачи применим приёмы дифференциального и интегрального исчисления. С этой целью, вычислим производную функции S(а) = ½ * a * √(64 - a²). Имеем: S Ꞌ(а) = (½ * a * √(64 - a²))Ꞌ = ½ * (aꞋ * √(64 - a²) + a * (√(64 - a²))Ꞌ) = ½ * (√(64 - a²) + a * ½ * (-2 * а / √(64 - a²))) = ½ * ((√(64 - a²))² - a * а) / √(64 - a²)) = ½ * (64 - a² - a²) / √(64 - a²) = (32 - a²) / √(64 - a²).
6. Приравнивая к нулю производную (S Ꞌ(а) = 0), определим стационарные точки (если, конечно, таковые существуют) функции S(а). Имеем: (32 - a²) / √(64 - a²) = 0. Поскольку мы функцию S(а) рассматриваем интервале (0; 8), то знаменатель дроби в левой части уравнения не может обращаться в 0. Следовательно, это уравнение можно переписать в виде 32 - a² = 0. Это неполное квадратное уравнение относительно а, имеет два различных корня а = ±√(32) = ±4√(2). Очевидно, что корень а = -4√(2) является побочным корнем. Значит, выбираем корень а = 4√(2).
7. Рассмотрим два интервала (0; 4√(2)) и (4√(2); 8). Нетрудно убедиться, что S Ꞌ(а) > 0 при а ∈(0; 4√(2)) и S Ꞌ(а) < 0 при а ∈ (4√(2); 8). Это означает, что функция S(а) в точке а = 4√(2) принимает максимальное (наибольшее) значение. Теперь легко вычислим другой катет прямоугольного треугольника: b = √(64 - a²) = √(64 – (4√(2))²) = √(64 – 32) = √(32) = 4√(2). Заключаем: При равных катетах по 4√(2) см каждый, площадь треугольника будет наибольшей.

Ответ: При равных катетах по 4√(2) см каждый, площадь треугольника будет наибольшей.