- Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы сокращенного умножения (разность квадратов):
x^3 – 1 = (x – 1) * (x^2 + 1 * x + 1^2) = (x – 1) * (x^2 + x + 1).
- Мы получили уравнение:
(x – 1) * (x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)/(x – 1).
Используем основное свойство пропорции крест накрест, чтобы привести уравнение к более стандартному виду (избавиться от дроби):
(x – 1) * (x^2 + x + 1) * (x – 1) = x^2 + x + 1;
(x^2 + x + 1) * (x – 1)^2 = x^2 + x + 1;
(x^2 + x + 1) * (x – 1)^2 – (x^2 + x + 1) = 0.
Вынесем за скобки общий множитель:
(x^2 + x + 1) * ((x – 1)^2 – 1) = 0.
Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0. Составим систему:
x^2 + x + 1 = 0;
(x – 1)^2 – 1 = 0.
2.1. Решим первое уравнение:
D = 1^2 – 4 * 1 * 1 = 1 – 4 = - 3 ⇒ нет корней, так как D < 0.
2.2. Решим второе уравнение:
x^2 – 2 * x * 1 + 1^2 – 1 = 0;
x^2 – 2 * x + 1 – 1 = 0;
x^2 – 2 * x = 0;
x * (x – 2) = 0;
x1 = 0;
x2 = 2.
Ответ: x1 = 0; x2 = 2.