Имеется сетка размером 3 x 2 с 12 точками сетки. Сколько всего существует прямоугольных треугольников, все вершины которых являются точками сетки?

*) Первое решение: будем считать, пройдясь по всем прямоугольникам и посчитав прямоугольные треугольники в этих прямоугольниках. Каждый из квадратов 1 x 1 или 2 x 2 или прямоугольников 1 x 3 содержит 4 прямоугольных треугольника, 3 вершины которых являются просто узлами сетки вершин соответствующего квадрата или прямоугольника. Каждый из прямоугольников 1 x 2 и 2 x 3 содержит соответственно 6 и 12 прямоугольных треугольников, 3 вершины которых являются либо вершинами соответствующих прямоугольников, либо узлами сетки на их сторонах. Количество квадратов 1 x 1 равно 6, таким образом, они содержат 6 x 4 = 24 прямоугольных треугольника. Количество квадратов 2 x 2 равно 2, таким образом, они содержат 2 x 4 = 8 прямоугольных треугольников. Количество прямоугольников 1 x 2 равно 7, таким образом, они содержат 7 x 6 = 42 прямоугольных треугольника. Количество прямоугольников 1 x 3 равно 2, таким образом, они содержат 2 x 4 = 8 прямоугольных треугольников. Количество прямоугольников 2 х 3 равно 1, в нем 1 х 8 = 8 прямоугольных треугольников. Таким образом, общее количество прямоугольных треугольников равно: 24 + 8 + 42 + 8 + 12 = 94 (прямоугольных треугольников). *) Второе решение: будем считать, пройдясь по всем точкам сетки и посчитав прямые углы в этих точках. Считал отдельно группами, у которых вершина прямого угла определенная. Получилась такая таблица: 6 9 9 6 7 10 10 7 6 9 9 6 Удобно сначала считать треугольники с катетами по линиям сетки, а потом остальные.

18 штук. Чтобы было легче посчитать - нужно их нарисовать на листочке в клетку. С катетами по 1 клетке - 6 штук. С катетами по 1 и 2 клетки - 4 штуки. С катетами по 2 клетки - 2 штуки. С катетами по 1 и 3 клетки - 4 штуки. И 2 обозначенных внутри. Правильный ответ: 18 штук.