Из точки O пересечения диагоналей квадрата ABCD к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM так, что угол OBM равен 60 градусов. Найдите косинус угла ABM

Для решения задачи рассмотрим рисунок.

Рассмотрим треугольник ВОМ, у которого угол О прямой, угол В 30⁰.

Обозначим ребро МВ через Х. Тогда катет ОВ, лежащий против угла 30⁰ равен Х / 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ, у которого угол О прямой, и по теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ.

АВ² = ОВ² + ОА² = (Х / 2)² + (Х / 2)² = Х² / 2.

АВ = Х / √2.

Треугольник АМВ равнобедренны МА + МВ.

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольников.

МА² = МВ² + АВ² – 2 * МВ * АВ * Cos ABM.

Х²  = Х² + Х² / 2 – 2 * Х * Х / √2 * Cos ABM.

(2 * Х² / √2) * Cos ABM = Х² / 2.

 Cos ABM = √2 / (2 * 2) = √2 / 4.

Ответ: Cos ABM = √2 / 4.