К каким частям речи относятся слова однажды и около

Неизменяемое слово "однажды" является такой частью речи, как наречие. Дадим определение: наречием в нашем языке называется часть речи, обозначающая обычно (как правило) признак действия или признак другого признака, значительно реже оно обозначает признак предмета.

"Около" же - это предлог, так как "где? около", оно не является членом предложения и не отвечает на какой-либо специальный вопрос, а служит только для связи слов в предложении и/или словосочетании. Предлог - один из видов служебных слов в русском языке.

Таким образом, однажды - наречие, около - предлог.