Как доказать, что отрезок - это биссектриса угла (по теореме)

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3FefjNT).

Рассмотрим треугольник АСН. Пусть угол СВН = α, угол СНВ = β, тогда по теореме синусов:

CH / Sinα = BC / Sinβ. (1)

Угол АНВ смежный с углом β, тогда угол АНВ = (180 – β).

В треугольнике АВН, по теореме синусов:

АН / Sinα = AB / Sin(180 – β).

По формулам приведения Sin(180 – β) = Sinβ, тогда:

АН / Sinα = AB / Sinβ. (2)

Разделим уравнение 1 на уравнение 2.

(CH / Sinα) / (АН / Sinα) = (BC / Sinβ)  / (AB / Sinβ);

СН / АН = ВС / АВ.

СН / ВС = АН / АВ.

Точка Н делит сторону АС на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам, следовательно, ВН биссектриса угла В, что и требовалось доказать.