Обозначения:
∠C = 90°;
AB = c;
BC = a;
AC = b;
R - радиус описанной окружности;
r - радиус вписанной окружности.
Свойства вписанной и описанной окружностей
Пусть точки M и N являются центрами вписанной и описанной окружностей (http://bit.ly/2ztnKqW).
Поскольку в треугольнике ABC гипотенуза AB является диаметром описанной окружности, то точка N лежит в середине AB.
Четырехугольник MQCL является прямоугольником, потому что:
∠C = 90°;
∠MQC = ∠MQC = 90°, т.к. радиус перпендикулярен касательной;
∠QML = 90°, т.к. сумма углов четырехугольника равна 360°,
но поскольку соседние стороны равны: MQ = ML = r, то он также является квадратом.
Вычисление длины отрезка NP
Отрезки BP и BL являются касательными для вписанной окружности. Поэтому расстояние от точки B до точек касания P и L равны:
BP = BL = BC - LC = a - r.
Вычислим длину отрезка NP:
NP = BP - BN;
NP = a - r - R;
NP = a - (R + r).
Аналогично получим для касательных AP и AQ, проведенных из точки A:
AP = AQ = AC - AQ = b - r;
NP = AN - AP;
NP = R - (b - r);
NP = (R + r) - b.
Из этих двух равенств следует:
a + b = 2 * (R + r);
NP = 1/2 * (a - b).
Вычисление расстояния между центрами окружностей
К прямоугольному треугольнику MPN применим теорему Пифагора, чтобы определить неизвестную гипотенузу MN, которая и есть расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей:
- MN² = NP² + MP²;
- MN² = 1/4 * (a - b)² + r²;
- N = √{r² + ((a - b)/2)²}.
Проверим для равнобедренного треугольника (a = b):
MN = r.
Ответ: √{r^2 + ((a - b)/2)^2}.