Эту задачу можно решить двумя способами: при помощи метода вычисления приближенного значения при помощи дифференциала и возведением в квадрат обоих значений.
Вычисление приближенного значения с помощью дифференциала
Для того, чтобы высчитать приближенное значение, нужно сделать следующие действия:
- Определить приращение значения (на сколько единиц наша функция отличается от дифференцируемого значения, то есть такого, из которого функция хорошо высчитывается);
- найти производную функции;
- найти производную от дифференцируемого значения;
- подставить все данные в формулу f(x0 + Δx) = f(x0) + f`(x0) * Δx
где (x0 + Δx) - это значение числа с его приращением, Δx - приращение.
Высчитаем значение выражений (3 + √8) и (√7 + √10).
1) √8
Примем за х0 число 9 (из него вычисляется квадратный корень)
х0 = 9
Δx = 8 - 9 = - 1
f(x) = √x = x1/2
f`(x) = 1/2 * (х)1/2 - 1 = 1/2 * х-1/2 = 1/(2х1/2) = 1/(2√x)
f`(9) = 1/(2√9) = 1/6
√8 = √9 + 1/6 * (- 1) = 3 - 1/6 = 2 5/6
2) √7
Примем за х0 число 9 (из него вычисляется квадратный корень)
х0 = 9
Δx = 7 - 9 = - 2
f(x) = √x = x1/2
f`(x) = 1/(2√x)
f`(9) = 1/(2√9) = 1/6
√7 = √9 + 1/6 * (- 2) = 3 - 2/6 = 3 - 1/3 = 2 2/3
3) √10
Примем за х0 число 9 (из него вычисляется квадратный корень)
х0 = 9
Δx = 10 - 9 = 1
f(x) = √x = x1/2
f`(x) = 1/(2√x)
f`(9) = 1/(2√9) = 1/6
√7 = √9 + 1/6 * (1) = 3 + 1/6 = 3 1/6
4) Поэтому 3 + √8 ~ 3 + 2 5/6 = 5 5/6
√7 + √10 ~ 2 2/3 + 3 1/6 = 5 5/6
Получается, выражения (3 + √8) и (√7 + √10) приближенно равны.
Возведем в квадрат оба выражения
(3 + √8)2 = 32 + 2 * 3 * √8 + (√8)2 = 9 + 6√8 + 8 = 17 + 6√8
(√7 + √10)2 = (√7)2 + 2 * √7 * √10 + (√10)2 = 7 + 2√70 + 10 = 17 + 2√70
Нужно сравнить 6√8 и 2√70, для этого внесем 6 и 2 под знак корня.
6√8 = √(36 * 8) = √288
2√70 = √(4 * 70) = √280
Значит, (17 + 6√8) больше (17 + 2√70).
Ответ: (3 + √8) > (√7 + √10)