Какой частью речи является слово БЛАГОДАРЯ в предложении?- Благодаря маминому уходу я быстро поправлялся.

Или деепричастием или предлогом, в данном случае предлогом, в значении из-за

Разберем предложение по членам, определим часть речи каждого члена:

(Кто?) я - подлежащее (местоимение).

Я (Что делал?) поправлялся - сказуемое (глагол).

Поправлялся (Как?) быстро - обстоятельство (наречие).

Поправлялся (Благодаря чему?) благодаря уходу - дополнение (имя существительное)ю

Уходу (Чьему?) маминому - определение (имя прилагательное).

В данном предложении слово "благодаря" является предлогом. 

По смыслу можно заменить на из-за.