Сначала определим область значений Х заданного уравнения √(2Х - 3) + √(4Х + 1) =4.
2Х – 3 ≥ 0 и 4Х + 1 ≥ 0.
Х ≥ 1,5 и Х ≥ -0,25.
Таким образом, получается, что область значений Х Є [1,5; +∞).
Теперь преобразуем начальное уравнение, возведя в квадрат обе его части.
(√(2Х - 3) + √(4Х + 1))2 = 42.
Раскроем скобки и упростим.
2Х – 3 + 2 *√(2Х - 3) * √(4Х + 1) + 4Х + 1 = 16.
6Х – 2 + 2 *√(2Х - 3) * √(4Х + 1) = 16.
2 *√(2Х - 3) * √(4Х + 1) = 18 – 6Х.
Разделим обе части уравнения на 2.
√(2Х - 3) * √(4Х + 1) = 9 – 3Х.
Еще раз посчитаем область значений Х.
9 – 3Х ≥ 0, откуда следует Х ≤ 3, то есть Х Є (-∞; 3].
Сопоставим эти данные с первоначальными Х Є [1,5; +∞).
Получим итоговую область значений Х Є [1,5; 3].
Снова возведем обе части уравнения в квадрат, раскроем скобки и упростим.
(√(2Х - 3) * √(4Х + 1))2 = (9 – 3Х)2.
(2Х - 3) * (4Х + 1) = 81 – 54Х + 9Х2.
8Х2 + 2Х – 12Х – 3 = 81 – 54Х + 9Х2.
81 – 54Х + 9Х2 - 8Х2 + 10Х + 3 = 0.
Х2 – 44Х + 84 = 0.
Найдем дискриминант и вычислим корни уравнения.
D = (-44)2 – 4 * 1 * 84 = 1936 – 336 = 1600 = 402.
Х1 = (-(-44) + √D) / 2 = (44 + 40) / 2 = 42.
Х2 = (-(-44) - √D) / 2 = (44 - 40) / 2 = 2.
В область значений Х Є [1,5; 3] вписывается только 2й корень уравнения.
Ответ: Х = 2.