Квадратное уравнение x^2+px+q=0 имеет два различных корня x1 и x2.Найдите p и q,если числа x1+1 и x2+1 являются корнями уравнения x^2-p^2x+pq=0

   1. Применим теорему Виета к обоим уравнениям:

• x^2 + px + q = 0; (1)
• x^2 - p^2x + pq = 0; (2)

• {x1 + x2 = -p;{x1 * x2 = q;
  {(x1 + 1) + (x2 + 1) = p^2;
  {(x1 + 1) * (x2 + 1) = pq;
• {x1 + x2 = -p;
  {x1 * x2 = q;
  {x1 + x2 + 2 = p^2;
  {x1 * x2 + x1 + x2 + 1 = pq;
• {x1 + x2 = -p;
  {x1 * x2 = q;
  {-p + 2 = p^2;
  {q - p + 1 = pq;
• {p^2 + p - 2 = 0;
  {q - pq + 1 - p = 0;
• {p^2 + p - 2 = 0;
  {q(1 - p) + (1 - p) = 0;
• {p^2 + p - 2 = 0;
  {(1 - p)(q + 1) = 0;
• {[p = -2; [p = 1;
  {[p = 1; [q = -1;
• [{p = -2; {q = -1;
  [{p = 1; {q ∈ R.

   2. Уравнения (1) и (2) должны иметь два различных корня:

• D1 = p^2 - 4q;
• D2 = p^4 - 4pq;

• {p^2 - 4q > 0;
  {p^4 - 4pq > 0.

   a) p = -2; q = -1;

• {(-2)^2 - 4 * (-1) > 0;
  {(-2)^4 - 4 * (-2) * (-1) > 0;
• {4 + 4 > 0;
  {16 - 8 > 0;
• {8 > 0;
  {8 > 0;

   p = -2; q = -1, - подходит.

   b) p = 1; q ∈ R;

• {1^2 - 4q > 0;
  {1^4 - 4 * 1 * q > 0;
• {1 - 4q > 0;
  {1 - 4q > 0;
• {1 - 4q > 0;
  {1 - 4q > 0;

• 1 - 4q > 0;
• 4q < 1;
• q < 1/4;
• q ∈ (-∞; 1/4).

   Ответ:

• a) p = -2; q = -1;
• b) p = 1; q ∈ (-∞; 1/4).