Log2(x-2)+log2(x-4)=3

Найдем область допустимых значений нашего уравнение(выражение в скобках логарифма должно быть больше нуля по свойству логарифмической функции аргумент должен быть не отрицательный иначе логарифм не имеет решений) x - 2 > 0, x>2; x - 4 > 0, x > 4 общим из этого будет множество чисел которое находится на отрезке x є (4 ; ∞); По свойству логарифма с одинаковым основанием имеем: log(2) (x - 2) (x - 4) = 3; (x - 2) (x - 4) = 8; x^2 - 2x - 4x + 8 - 8 = 0; x^2 - 6x = 0; x(x - 6) = 0; x=0 не входит в область допустимых значений; х = 6. Ответ: х = 6.

Нам нужно решить логарифмическое уравнение log₂ (x - 2) + log₂ (x - 4) = 3 и в этом нам помогут свойства логарифмов.

Алгоритм решения логарифмического уравнения

• найдем ОДЗ для уравнения;
• вспомним свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием и применим его к левой части уравнения;
• используя определение логарифма переходим к решению квадратного уравнения;
• проверим принадлежат ли корни ОДЗ.

ОДЗ уравнения и свойства суммы логарифмов

Найдем ОДЗ уравнения.

Известно, что выражение, стоящее под знаком логарифма не может быть отрицательным: х - 2 > 0 и х - 4 > 0, то есть х > 4.

Итак, давайте вспомним как звучит свойство сумму логарифмов.

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

log_ax + log_ay = log_a(xy);

Применим его в левой части уравнения и получим:

log₂ ((x - 2)(x - 4)) = 3.

Переходим к решению неполного квадратного уравнения

Используя определение логарифма, переходим к уравнению:

(x – 2)(x – 4) = 2^3;

x^2 - 4x – 2x + 8 = 8;

x^2 - 6x + 8 - 8 = 0;

x^2 – 6x = 0.

Решаем полученное неполное квадратное уравнение. Представим в виде произведение выражение в левой части уравнения.

x(x - 6) = 0.

Чтобы найти все решения уравнения перейдем к решению двух линейных, приравняв каждый из множителей к нулю.

1) х = 0;

2) х - 6 = 0;

х = 6.

Проверим входят ли найденные решения в область допустимых значений. х = 0 и х = 6 — являются решением уравнения.

Ответ: х = 0 и х = 6 корни уравнения.