Log4(25-x^2)<= 2+log4(x+4)

1) Разберем ОДЗ.

25 - x² > 0; умножим на (-1), знак перевернется.

25 - x² < 0.

(x - 5)(x + 5) > 0.

Корни неравенства 5 и -5, знаки интервалов: (+) -5 (-) 5 (+).

Решение: х принадлежит (-5; 5).

х + 4 > 0; x > -4.

Общее решение ОДЗ: х принадлежит (-4; 5).

2) log₄(25 - x²) ≤ 2 + log₄(x + 4).

Представим 2 в виде логарифма с основанием 4:

log₄(25 - x²) ≤ log₄16 + log₄(x + 4).

По правилу сложения логарифмов:

log₄(25 - x²) ≤ log₄(16(x + 4)).

Основание логарифма больше 1, знак не изменится:

25 - x² ≤ 16(x + 4).

25 - x² ≤ 16x + 64.

25 - x² - 16x - 64 ≤ 0.

-x² - 16x - 39 ≤ 0.

Умножим на (-1), знак перевернется:

x² + 16x + 39 ≥ 0.

Найдем точки пересечения параболы у = x² + 16x + 39 (ветви вверх) с осью х:

у = 0; x² + 16x + 39 = 0.

D = 256 - 156 = 100 (√D = 10);

х₁ = (-16 - 10)/2 = -13.

х₂ = (-16 + 10)/2 = -3.

Знак неравенства ≥ 0, решением будут промежутки, где ветки параболы находятся над осью х, то есть х принадлежит промежуткам (-∞; -13] и [-3; +∞).

3) Объединяем решение неравенства и решение ОДЗ: (-4; 5) и (-∞; -13] и [-3; +∞).

Ответ: х принадлежит промежутку [-3; 5).