Медиана равностороннего треугольника равна 13 корней из 3. Найдите его сторону.

Введем обозначения: равносторонний треугольник АВС, медиана ВН, ВН = (13 * корень из 3). Найти сторону АВ.

Для решения задачи нужно знать

• Медиана треугольника делит противоположную сторону на две равные части;
• в равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой;
• теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассмотрим треугольник АВН

ВН - высота (так как медиана в равностороннем треугольнике является высотой), значит угол Н равен 90 градусов. Следовательно, треугольник АВН - прямоугольный.

В треугольнике АВН: АВ - гипотенуза, ВН и АН - катеты.

По теореме Пифагора

АВ² = ВН² + АН²

Обозначим сторону АВ = а.

Значит, АН = а/2, так как ВН медиана, АН = СН, а АС = АВ = а.

Подставляем переменную а и значение ВН. Решаем получившееся уравнение.

1. а² = (а/2)² + (13 * корень из 3)²

а² = а²/4 + 169 * 3 

а² = а²/4 + 507

2. Перенесем значения с переменной в левую часть уравнения.

 а² - а²/4 = 507

3. Умножим все уравнение на 4.

4а² - а² = 2028

4. Подведем подобные члены.

3а² = 2028

5. Делим все уравнение на 3.

а² = 676

Отсюда а = - 26 (отрицательный корень, не подходит по условию)

и а = 26.

Ответ: сторона равностороннего треугольника равна 26.

1) Так как треугольник является равносторонним, то каждый его угол будет равен 60 градусам. 2) В равностороннем треугольнике любая медиана является и высотой, и биссектрисой. Поэтому Острый угол, образованный медианой, опущенной на основание равностороннего треугольника, будет равен 60 : 2 = 30 градусов. 3) По синусу 60 градусов находим сторону треугольника: sin(60) = 1/(2*3^(1/2)) = 13*3^(1/2) : Х, где Х - искомая сторона. X = 13*3^(1/2) * 2* 3^(1/2) = 13 * 2 * 3 = 78. Ответ: длина стороны равна 78.