Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Почему мы исследуем лишь 3 и 9? Почему это число не может быть квадратом числа кратного 10?

Заметим, что число А, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек,

имеет сумму цифр в своей записи:

100 * 0 + 100 * 1 + 100 * 2 = 300.

По признаку делимости на 3 заключаем, что данное число делится на 3,

так как 300 делится на 3.

А по признаку делимости на 9 заключаем, что данное число НЕ делится на 9,

так как 300 НЕ делится на 9.

Предположим, что число А является точным квадратом. Тогда его можно записать:

А = m^2.

Так как А делится на 3, то А можно записать:

А = 3 * k, где k - натуральное число. Имеем:

3 * k = m^2.

Очевидно, что m должно делится на 3. Значит, m = 3 * n, где n - натуральное число. Тогда:

3 * k = (3 * n)^2 = 9 * n^2, k = 3 * n^2. Следовательно,

А = 3 * k = 3 * 3 * n^2 = 9 * n^2 делится на 9. Но исходное число на 9 не делится.

И значит, не может быть полным квадратом.