На дорожку пишется вместе или раздельно?

Слово " дорожку" с "на" следует писать раздельно, потому что здесь подойдет правило о приставках. Это правило гласит, если между словом и приставкой можно вставить другое слово, то пишется раздельно (на долгую дорожку).