На круговой железной дороге расположены четыре станции: A, B, C, D. Расстояние между станциями A и B равно 25 км, между станциями B и C равно 15 км, между C и D — 30 км, между D и A — 30 км. Известно также, что длина всей кольцевой дороги менее 75 км. Чему равна эта длина?

 

    Обозначим расстояния между станциями сочетанием их названий:

ab = 25 км., bc = 15 км., cd = 30 км., da = 30 км.

Варианты расположения станций

    Для решения задачи нам требуется определить в какой последовательности на круговой железной дороге располагаются станции a, b, c и d. Перечислим все варианты их взаимного расположения, точкой отсчета выберем станцию a: 

• a,b,c,d
• a,b,d,c
• a,c,b,d
• a,c,d,b
• a,d,b,c
• a,d,c,b

    Если изобразить круг и обозначить точками с соответствующими обозначениями станции, то станет ясно, что пары вариантов 1 и 6, а так же 2 и 4 одинаковые, различаются  лишь направлением движения. Поэтому имеем 4 основных варианта. 

Проверим каждый вариант

• a,b,c,d: при таком взаимном расположении для определения длины дороги нам достаточно сложить расстояния между соседними станциями, они известны.

        25 + 15 + 30 + 30 = 100 км. Длина больше 75 км, что противоречит условию.

• a,b,d,c: bc = 15 км, станция d находится между b и c, bd + dc = 15 км, но по условию: cd = 30 км. Получили противоречие, данный вариант не подтверждается.
• a,c,b,d: длину можно найти ab + bd + da, нам неизвестно только bd, можем найти:

        bd = cd - cb, так как b располагается между c и d. bd = 30 - 15 = 15 км. Длина дороги 

        25 + 15 + 30 = 70 км. 70 < 75, противоречий нет. 

• a,d,b,c: ab = 25 км, станция d находится между a и b, ad + db = 25 км, но по условию ad = 30 км. Это невозможно. Вариант отвергнут.

Получили единственный возможный вариант.

ОТВЕТ: Длина дороги составляет 70 км.  

 

Если станции расположены в порядке A, B, C, D , то длина железной дороги будет равна 25 + 15 + 30 + 30 = 100 км, а это больше 75 км, значит, станции расположены по-другому; Они могут быть расположены так: A, C, B, D; A 10 км С 15 км B 15 км D 30 км, тогда между A и B 10 + 15 = 25 км; между B и С 15 км; между C и D 15 + 15 = 30 км; а между D и A тоже 30 км; Длина всей дороги составляет AC + CB + BD + DA = 10 + 15 + 15 + 30 = 70 км..