Пусть p – это количество связок, в каждой из которых 7 книг. Если связать книги таким образом, останется 2 книги. Значит, общее количество книг равно 7p + 2.
Пусть q – это количество связок, в каждой из которых 12 книг. Если связать книги таким образом, останется 3 книги. Значит, общее количество книг равно 12q + 3.
Пусть t – это количество связок, в каждой из которых 9 книг. Если связать книги таким образом, лишних книг не останется. Значит, общее количество книг равно 9t.
Отметим, что p, q и t – это натуральные числа.
Мы выразили общее количество книг тремя способами. Составим систему уравнений:
7p + 2 = 9t;
12q + 3 = 9t.
Рассмотрим первое уравнение. Выразим p через t.
7p + 2 = 9t;
7p = 9t – 2;
p = (9t – 2) / 7.
Рассмотрим второе уравнение. Выразим q через t.
12q + 3 = 9t;
4q + 1 = 3t;
4q = 3t – 1;
q = (3t – 1) / 4.
Общее количество книг больше ста и меньше ста пятидесяти. Составим неравенство с переменной t.
100 < 9t < 150;
100/9 < t < 150/9;
11 + 1/9 < t < 16 + 2/3.
Число t должно быть натуральным. Значит, переменная t может принимать такие значения: 12; 13; 14; 15; 16. Для каждого из возможных значений t найдем соответствующие значения p и q.
Пусть t = 12.
p = (9 * 12 – 2) / 7 = 106/7.
Получилось нецелое число. Следовательно, это значение t нам не подходит.
Пусть t = 13.
p = (9 * 13 – 2) / 7 = 115/7.
Получилось нецелое число. Следовательно, это значение t нам не подходит.
Пусть t = 14.
p = (9 * 14 – 2) / 7 = 124/7.
Получилось нецелое число. Следовательно, это значение t нам не подходит.
Пусть t = 15.
p = (9 * 15 – 2) / 7 = 19;
q = (3 * 15 – 1) / 4 = 11.
Получились натуральные числа. Следовательно, это значение t нам подходит.
Пусть t = 16.
p = (9 * 16 – 2) / 7 = 142/7.
Получилось нецелое число. Следовательно, это значение t нам не подходит.
Итак, нам подходит лишь один вариант: t = 15.
Найдем количество книг.
9 * t = 9 * 15 = 135 (книг)
Ответ: 135.