Найдите наименьшее натуральное число n, при котором число (n^2+n)(n^2+5n+6) делится на 2000

1. Данное выражение обозначим через Q = (n² + n) * (n² + 5 * n + 6). Разложим содержимые скобок на множители. Тогда, получим: Q = n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3). Значит, произведение четырёх последовательных натуральных чисел должно делиться на 2000.
2. Разложим число 2000 на простые множители: 2000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5. Это разложение обязывает наличие четырёх двоек и трёх пятерок в составе разложения Q на простые множители.
3. Отметим, что из четырёх подряд идущих чисел на 5 может делиться только одно. Очевидно, что это число должно делиться и на 5 * 5 * 5 = 125. Наименьшим натуральным числом, в составе разложения которого имеются три пятёрки – это 125 = 5 * 5 * 5.
4. Таким образом, выяснили, что эти четыре подряд идущие числа нужно искать среди следующих чисел: 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128. Рассмотрим возможные 4 случая.
5. А) n = 122. Тогда, Q = 122 * 123 * 124 * 125. В этом случае число 122 даёт одну двойку, а 124 – две двойки, всего получается 3. Надо 4 двойки. Не хватает.
6. Б) n = 123. Тогда, Q = 123 * 124 * 125 * 126. В этом случае число 124 даёт две двойки, а 126 – одну двойку. Не хватает.
7. В) n = 124. Тогда, Q = 124 * 125 * 126 * 127. Этот случай аналогичен предыдущему случаю.
8. Г) n = 125. Тогда, Q = 125 * 126 * 127 * 128. Этот случай даёт аж 8 двоек. Более чем достаточно.

Ответ: n = 125.