Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции
y = x^3 - 12x^2 + 36x + 3, на отрезке [4; 12].
Найдем точки экстремума функции
Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Найдем производную функции
Для нахождения производной воспользуемся формулой:
(х^a)’ = ax^(a - 1).
Тогда:
y’ = (x^3 - 12x^2 + 36x + 3)’ = 3х^2 – 12 * 2х + 36 = 3х^2 – 24х + 36.
Точки экстремума:
у’ существует при всех значениях х.
y’ = 0:
3х^2 – 24х + 36 = 0,
3 (х^2 – 8х + 12) = 0,
3 (х – 6) (х – 2) = 0,
х1 = 2,
х2 = 6.
Наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.
Т.к. х = 2 не принадлежит отрезку [4; 12], то эту точку не рассматриваем.
Вычислим значение функции в точке экстремума и на концах отрезка:
При х = 4, y = 4^3 – 12 * 4^2 + 36 * 4 + 3 = 64 – 192 + 144 + 3 = 19.
При х = 6, y = 6^3 – 12 * 6^2 + 36 * 6 + 3 = 216 – 432 + 216 + 3 = 3.
При х = 12, y = 12^3 – 12 * 12^2 + 36 * 12 + 3 = 1728 – 1728 + 432 + 3 = 435.
Таким образом, yнаим = у(6) = 3.
Ответ: yнаим = 3.