Найдите наименьшеее и наибольшее значение функции y=x3+6x2-36x+7 на отрезке -3;3

Сначала исследуем отрезок на предмет наличия экстремумов, взяв производную:

у = х³ + 6 * х² - 36 * х + 7;

у' = 3 * х² + 12 * х - 36;

Приравняем полученную производную нулю и решим полученное уравнение с помощью теоремы Виета:

3 * х² + 12 * х - 36 = 0;

3 * (х² + 4 * х - 12) = 0;

х² + 4 * х - 12 = 0;

(х - 2) * (х + 6) = 0;

Так как произведение равно нулю, значит какой-то из множителей равен нулю:

х - 2 = 0;

х = 2;

х + 6 = 0;

х = - 6;

Найдем значение функции в точке х = 2 и на концах отрезка. Второй экстремум при х = -6 в исследуемый отрезок не попадает.

у = х³ + 6 * х² - 36 * х + 7;

х = -3;

у = -27 + 54 + 108 + 7 = 142;

х = 3;

у = 27 + 54 - 108 + 7 = -20;

х = 2;

у = 8 + 24 - 72 + 7 = -33;

Наибольшее значение на конце отрезка в точке х = -3; у = 142;

А наименьшее - в точке экстремума х = 2; у = -33;

При этом экстремум является минимумом, так как в этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.